Résoudre une équation du 1er et du 2nd degré pas à pas
Saisis les coefficients : l'outil résout ax + b = cx + d ou ax² + bx + c = 0 et rédige chaque étape comme en classe. Pour le second degré, il calcule le discriminant Δ = b² − 4ac, donne les racines exactes avec radicaux simplifiés et valeurs approchées, traite le cas Δ négatif.
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Résoudre une équation du 1er degré
Une équation du premier degré s'écrit ax + b = cx + d. On isole x : on regroupe les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre, en changeant le signe de ce qui traverse le signe égal, puis on divise par le coefficient de x.
\[ ax + b = cx + d \iff (a - c)\,x = d - b \iff x = \dfrac{d - b}{a - c} \quad \text{si } a \neq c \]
| Situation | Conclusion | Exemple |
|---|---|---|
| \( a - c \neq 0 \) | une seule solution | \( 3 x + 5 = x + 11 \) donne \( x = 3 \) |
| \( a - c = 0 \) et \( d - b = 0 \) | tous les réels (identité) | \( x + 2 = x + 2 \) |
| \( a - c = 0 \) et \( d - b \neq 0 \) | aucune solution | \( x + 2 = x + 3 \) |
L'outil vérifie toujours la solution en la remplaçant dans les deux membres.
Équation du 2nd degré : discriminant et racines
Pour ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0, on calcule le discriminant, puis on applique la formule des racines.
\[ \Delta = b^{2} - 4ac \qquad x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
| Signe de Δ | Solutions réelles | Exemple |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux : (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a) | \( x^{2} - 5 x + 6 = 0 \) : \( \Delta = 1 \), \( x = 2 \) ou \( x = 3 \) |
| \( \Delta = 0 \) | une racine double : −b/(2a) | \( x^{2} - 6 x + 9 = 0 \) : \( \Delta = 0 \), \( x = 3 \) |
| Δ < 0 | aucune dans les réels | \( x^{2} + 2 x + 5 = 0 \) : \( \Delta = - 16 \) |
Quand Δ n'est pas un carré parfait, la racine carrée est simplifiée : \( \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \), car \( 72 = 36 \times 2 \). L'outil cherche le plus grand carré qui divise Δ, puis simplifie la fraction par le PGCD.
Somme, produit et forme factorisée des racines
Si l'équation a deux racines x₁ et x₂, alors x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Ces deux relations servent à contrôler un résultat : pour \( x^{2} - 5 x + 6 = 0 \), la somme \( 2 + 3 = 5 = - \dfrac{- 5}{1} \) et le produit \( 2 \times 3 = 6 = \dfrac{6}{1} \).
Le trinôme se factorise alors en a(x − x₁)(x − x₂) : \( x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) \). Si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas dans les réels et garde le signe de a pour tout x.
Si les coefficients sont décimaux ou fractionnaires, l'outil multiplie l'équation par le PPCM des dénominateurs pour obtenir des entiers, sans changer les solutions.
3 exemples concrets
Un premier degré : 3x + 5 = x + 11
On regroupe : \( 3 x - x = 11 - 5 \), donc \( 2 x = 6 \), puis \( x = \dfrac{6}{2} = \) 3. Vérification : \( 3 \times 3 + 5 = 14 \) et \( 3 + 11 = 14 \).
Un second degré à racines entières : x² − 5x + 6 = 0
\( a = 1 \), \( b = - 5 \), \( c = 6 \). \( \Delta = (- 5)^{2} - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 \), donc \( \sqrt{\Delta} = 1 \). Les racines sont \( \dfrac{5 - 1}{2} = 2 \) et \( \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \). Solutions : \( x = 2 \) ou \( x = 3 \), et \( x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) \).
Des racines avec radical : 2x² − 4x − 3 = 0
\( \Delta = (- 4)^{2} - 4 \times 2 \times (- 3) = 16 + 24 = 40 = 4 \times 10 \), donc \( \sqrt{\Delta} = 2 \sqrt{10} \). Alors \( x = \dfrac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4} = \dfrac{2 \pm \sqrt{10}}{2} \), soit \( x \approx - 0{,}5811 \) ou \( x \approx 2{,}5811 \).