Calculatrice de fractions avec étapes détaillées
Choisis l'opération, saisis les deux fractions (avec une partie entière si besoin) et le résultat apparaît aussitôt, simplifié et accompagné de la valeur décimale. Chaque étape est rédigée : mise au même dénominateur avec le PPCM, calcul des numérateurs, puis simplification par le PGCD grâce à l'algorithme d'Euclide.
- ✅ Gratuit
- 🔒 Sans inscription
- 📱 Sur mobile
- ⚡ Résultat instantané
🔒 Tout est calculé dans ton navigateur : tes données et tes fichiers ne quittent pas ton appareil.
Additionner et soustraire des fractions
Pour additionner ou soustraire, les fractions doivent avoir le même dénominateur. On choisit le plus petit, le PPCM des dénominateurs, puis on additionne ou soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.
\[ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times k + c \times m}{\operatorname{PPCM}(b\,;\,d)} \quad \text{avec } k = \dfrac{\operatorname{PPCM}}{b} \text{ et } m = \dfrac{\operatorname{PPCM}}{d} \]
| Calcul | Dénominateur commun | Résultat |
|---|---|---|
| \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \) | 6 | \( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6} \) |
| \( \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} \) | 12 | \( \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{19}{12} \) |
| \( \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} \) | 12 | \( \dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{1}{12} \) |
| \( \dfrac{7}{10} + \dfrac{1}{5} \) | 10 | \( \dfrac{7}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{9}{10} \) |
Multiplier, diviser et simplifier
Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser, on multiplie par l'inverse de la deuxième fraction (on échange numérateur et dénominateur). Diviser par une fraction nulle est impossible.
\[ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} \qquad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \qquad (c \neq 0) \]
On simplifie ensuite en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, trouvé avec l'algorithme d'Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le plus petit par le reste, jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
| Fraction | Euclide | PGCD | Fraction irréductible |
|---|---|---|---|
| 48/36 | \( 48 = 36 \times 1 + 12 \) ; \( 36 = 12 \times 3 + 0 \) | 12 | 4/3 |
| 84/126 | \( 126 = 84 \times 1 + 42 \) ; \( 84 = 42 \times 2 + 0 \) | 42 | 2/3 |
| 17/5 | \( 17 = 5 \times 3 + 2 \) ; \( 5 = 2 \times 2 + 1 \) ; \( 2 = 1 \times 2 + 0 \) | 1 | 17/5 |
Nombres mixtes, valeur décimale et signes
Un nombre mixte comme 2 1/3 se saisit avec 2 dans la case « entier », 1 comme numérateur et 3 comme dénominateur. Il vaut \( \dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3} \). Pour un nombre négatif, mets le signe moins sur la partie entière : \( - 2 \dfrac{1}{3} = - \dfrac{7}{3} \).
La valeur décimale est calculée exactement, par divisions successives : 1/4 = 0,25 (décimale finie), mais 1/3 = 0,(3) et 1/7 = 0,(142857), où les chiffres entre parenthèses se répètent à l'infini. Une fraction irréductible a une écriture décimale finie seulement si son dénominateur ne contient que les facteurs premiers 2 et 5.
Le signe d'une fraction se range toujours au numérateur : 3/−4 s'écrit −3/4, et −3/−4 s'écrit 3/4.
3 exemples concrets
Additionner 3/4 + 5/6
\( \operatorname{PGCD}(4 \,;\, 6) = 2 \), donc PPCM = 4 × 6 ÷ 2 = 12. On écrit \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12} \) et \( \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} \). La somme vaut 19/12, déjà irréductible \( (\operatorname{PGCD}(19 \,;\, 12) = 1) \). En nombre mixte : 1 7/12, soit environ 1,5833.
Diviser 2/3 par 4/9
Diviser par 4/9, c'est multiplier par 9/4 : \( \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12} \). Le PGCD de 18 et 12 vaut \( 6 (18 = 12 \times 1 + 6 \,;\, 12 = 6 \times 2 + 0) \), donc 3/2, soit 1,5.
Simplifier 48/36
Euclide : \( 48 = 36 \times 1 + 12 \), puis \( 36 = 12 \times 3 + 0 \). Le PGCD est 12. On divise haut et bas par 12 : \( \dfrac{48}{12} = 4 \) et \( \dfrac{36}{12} = 3 \). La fraction irréductible est 4/3.