PGCD et PPCM de plusieurs nombres avec les étapes
Écris deux à six entiers séparés par des espaces ou des points-virgules : l'outil donne le PGCD et le PPCM. Tu vois les divisions de l'algorithme d'Euclide ligne par ligne, la décomposition en facteurs premiers avec le tableau des exposants, et la vérification que PGCD × PPCM = a × b pour deux nombres.
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Le PGCD par l'algorithme d'Euclide
Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux. L'algorithme d'Euclide repose sur la propriété PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r), où r est le reste de la division de a par b. On répète jusqu'à obtenir un reste nul.
| Étape | Division |
|---|---|
| 1 | \( 252 = 105 \times 2 + 42 \) |
| 2 | \( 105 = 42 \times 2 + 21 \) |
| 3 | \( 42 = 21 \times 2 + 0 \) |
Le dernier reste non nul est 21, donc \( \operatorname{PGCD}(252 \,;\, 105) = 21 \). Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux.
Le PPCM et la relation avec le PGCD
Le PPCM est le plus petit entier strictement positif multiple des deux nombres. Pour deux nombres, il se déduit du PGCD.
\[ \operatorname{PGCD}(a \,;\, b) \times \operatorname{PPCM}(a \,;\, b) = a \times b \quad \text{donc} \quad \operatorname{PPCM}(a \,;\, b) = \dfrac{a \times b}{\operatorname{PGCD}(a \,;\, b)} \]
Pour plusieurs nombres, on enchaîne : PPCM(a ; b ; c) = PPCM(PPCM(a ; b) ; c). Le PPCM sert à mettre des fractions au même dénominateur et à résoudre les problèmes de rencontres périodiques (deux bus qui repassent ensemble).
| a et b | PGCD | PPCM | Contrôle a × b |
|---|---|---|---|
| 12 et 18 | 6 | 36 | \( 6 \times 36 = 216 = 12 \times 18 \) |
| 48 et 36 | 12 | 144 | \( 12 \times 144 = 1\,728 = 48 \times 36 \) |
| 17 et 5 | 1 | 85 | \( 1 \times 85 = 85 = 17 \times 5 \) |
Par la décomposition en facteurs premiers
On décompose chaque nombre : \( 12 = 2^{2} \times 3 \) et \( 18 = 2 \times 3^{2} \). Le PGCD est le produit des facteurs communs avec leur plus petit exposant : \( 2 \times 3 = 6 \). Le PPCM est le produit de tous les facteurs avec leur plus grand exposant : \( 2^{2} \times 3^{2} = 36 \).
Cette méthode fonctionne avec autant de nombres que tu veux, c'est ce que montre le tableau des exposants. L'algorithme d'Euclide reste plus rapide pour de très grands nombres, où la décomposition devient longue : l'outil n'affiche le tableau que pour les nombres de 12 chiffres au plus.
3 exemples concrets
PGCD et PPCM de 48 et 36
Euclide : \( 48 = 36 \times 1 + 12 \), puis \( 36 = 12 \times 3 + 0 \). PGCD = 12. PPCM = 48 × 36 ÷ 12 = 1 728 ÷ 12 = 144.
Simplifier 84/126 avec le PGCD
\( 126 = 84 \times 1 + 42 \) et \( 84 = 42 \times 2 + 0 \) : PGCD = 42. On divise par 42 : \( \dfrac{84}{126} = \) 2/3.
Deux bus qui repassent ensemble
Un bus passe toutes les 12 minutes, l'autre toutes les 18 minutes, et ils partent ensemble à 8 h. Le PPCM de 12 et 18 vaut 36 : ils se retrouvent 36 minutes plus tard, à 8 h 36.