Décomposition d'un nombre en facteurs premiers
Écris un entier supérieur ou égal à 2 : l'outil le décompose en produit de nombres premiers, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5. Tu vois le tableau des divisions successives, l'arbre des facteurs, tous les diviseurs, leur nombre et leur somme, ainsi que la racine carrée simplifiée du nombre.
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Comment décomposer un nombre en facteurs premiers
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…). Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers (à l'ordre près). Pour le trouver, on divise par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient jusqu'à obtenir 1.
| Nombre | Diviseur premier |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
\[ 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5 \]
On regroupe les facteurs identiques avec des exposants. Il suffit d'essayer les diviseurs premiers jusqu'à la racine carrée du nombre : si aucun ne divise n, alors n est premier.
Critères de divisibilité utiles
| Diviseur | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | le dernier chiffre est pair | 2 024 se termine par 4 |
| 3 | la somme des chiffres est un multiple de 3 | \( 2 + 0 + 2 + 4 = 8 \) : non |
| 5 | le dernier chiffre est 0 ou 5 | 1 995 : oui |
| 9 | la somme des chiffres est un multiple de 9 | \( 4 + 5 = 9 \) : 45 est divisible par 9 |
| 11 | la somme alternée des chiffres est un multiple de 11 | 1 001 : \( 1 - 0 + 0 - 1 = 0 \) : oui |
Les nombres premiers inférieurs à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Ce que la décomposition permet de calculer
Si \( n = p_{1} \)a × p₂b × …, alors :
- le nombre de diviseurs vaut \( (a + 1) (b + 1) \ldots \) : pour \( 360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5 \), on trouve \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \) diviseurs ;
- la somme des diviseurs vaut le produit des (p\( k + 1 \) − 1) ÷ (p − 1) : pour 360, \( 15 \times 13 \times 6 = 1\,170 \) ;
- l'indicatrice d'Euler φ(n), nombre d'entiers de 1 à n premiers avec n, vaut le produit des p\( k - 1 \)\( (p - 1) \) : \( \varphi (360) = 4 \times 6 \times 4 = 96 \) ;
- la racine carrée simplifiée : on sort les carrés, \( \sqrt{360} = \sqrt{2^{3} \times 3^{2} \times 5} = 6 \sqrt{10} \) ;
- le PGCD et le PPCM de plusieurs nombres, en comparant les exposants.
3 exemples concrets
Décomposer 84
\( \dfrac{84}{2} = 42 \), \( \dfrac{42}{2} = 21 \), \( \dfrac{21}{3} = 7 \), et 7 est premier. Donc \( 84 = 2^{2} \times 3 \times 7 \). Il a \( (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 12 \) diviseurs.
Décomposer 1 001
1 001 n'est divisible ni par 2, 3 ni 5. Par 7 : \( 1\,001 = 7 \times 143 \). Puis \( 143 = 11 \times 13 \). Donc \( 1\,001 = 7 \times 11 \times 13 \), trois facteurs premiers distincts.
Reconnaître un nombre premier : 97
\( \sqrt{97} \approx 9{,}8 \) : il suffit d'essayer 2, 3, 5 et 7. Aucun ne divise \( 97 (97 = 2 \times 48 + 1 = 3 \times 32 + 1 = 5 \times 19 + 2 = 7 \times 13 + 6) \). Donc 97 est premier.